Prova scritta 17 Febbraio 2012
Re: Prova scritta 17 Febbraio 2012
Egr. Professore, svolgendo il compito come esercitazione ho notato alcune cose sulle quali avrei bisogno di chiarimenti:
Esercizio 3.1 Scritta la matrice associata al sistema verifico che il Determinante è diverso da zero per k diverso da 0; per tale valore ho che la matrice ha rango massimo (rango=3) e il sistema ammette una e una sola soluzione che è quella banale. Per k=0 invece la matrice ha determinante nullo, si verifica che una riga è dipendente dalle altre e si elide quest'ultima. Ora la matrice risultante è del tipo 2x3 lei nello svolgimento dell'esercizio calcola i determinanti a segno alterno dei minori per determinare il generatore dell'insieme delle soluzioni e risulta S(0)=L[(1,1,-1)]
Io svolgendo l'esercizio utonomamente giunto alla matrice 2x3 ho riscritto il sistema di 2 equazioni in 3 incognite e da li riducendo a scala ho ricavato la forma parametrica dell'insieme delle soluzioni e mi trovo S(0)=[(z,-z,z)/ z appartiene ad R] assegnando z=1 => S(0)=[(1,-1,1)] evidentemente ho fatto qualche errore...
La ringrazio anticipatamente per l'attenzione.
Distinti Saluti.
Esercizio 3.1 Scritta la matrice associata al sistema verifico che il Determinante è diverso da zero per k diverso da 0; per tale valore ho che la matrice ha rango massimo (rango=3) e il sistema ammette una e una sola soluzione che è quella banale. Per k=0 invece la matrice ha determinante nullo, si verifica che una riga è dipendente dalle altre e si elide quest'ultima. Ora la matrice risultante è del tipo 2x3 lei nello svolgimento dell'esercizio calcola i determinanti a segno alterno dei minori per determinare il generatore dell'insieme delle soluzioni e risulta S(0)=L[(1,1,-1)]
Io svolgendo l'esercizio utonomamente giunto alla matrice 2x3 ho riscritto il sistema di 2 equazioni in 3 incognite e da li riducendo a scala ho ricavato la forma parametrica dell'insieme delle soluzioni e mi trovo S(0)=[(z,-z,z)/ z appartiene ad R] assegnando z=1 => S(0)=[(1,-1,1)] evidentemente ho fatto qualche errore...
La ringrazio anticipatamente per l'attenzione.
Distinti Saluti.
Re: Prova scritta 17 Febbraio 2012
Ho controllato e trattasi della prova n.1, anche io ho scritto $S_0=L[(1,-1,1)]$.
Il valore $S_0=L[(1,1,-1)]$ è la soluzione della prova $n.4$ e relativa all'esercizio $3(i)$.
Il valore $S_0=L[(1,1,-1)]$ è la soluzione della prova $n.4$ e relativa all'esercizio $3(i)$.
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Luigi_Belli
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Re: Prova scritta 17 Febbraio 2012
Buonasera prof.
quando studio la diagonalizzabilità ne caso della prova 1 ponendo h=1 ottengo una matrice di rango 2, ho quindi una molteplicità algebrica di 2 e quindi questo endomorfismo non è diagonalizzabile.
ponendo h=2 ho sempre molteplicità algebrica di 2 ma in questo caso è diagonalizzabile.
La mia domanda è: nel caso h=1 ottengo un autovalore non regolare, ma perchè? E perchè l'autovalore lambda1=lambda2=1 non è regolare? come calcolo la molteplicità geometrica? é il numero di vettori indipendenti giusto?
Grazie in anticipo
quando studio la diagonalizzabilità ne caso della prova 1 ponendo h=1 ottengo una matrice di rango 2, ho quindi una molteplicità algebrica di 2 e quindi questo endomorfismo non è diagonalizzabile.
ponendo h=2 ho sempre molteplicità algebrica di 2 ma in questo caso è diagonalizzabile.
La mia domanda è: nel caso h=1 ottengo un autovalore non regolare, ma perchè? E perchè l'autovalore lambda1=lambda2=1 non è regolare? come calcolo la molteplicità geometrica? é il numero di vettori indipendenti giusto?
Grazie in anticipo
Re: Prova scritta 17 Febbraio 2012
Nel caso $h=1$ gli autovalori sono $\lambda_1=1$, $\lambda_2=1$ e $\lambda_3=2$.
L'autovalore $\lambda_1=\lambda_2=1$ ha molteplicità algebrica $\mu_a(1)=2$, la molteplicità geometrica è la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato alla matrice
$A_(f_1)-I=((1,-1,-1),(0,0,-1),(0,0,0))$, questa matrice ha rango $2$ è lo spazio delle soluzioni ha dimensione $1$. Quest'ultimo fatto è una questione di carattere generale, lo cose stanno così e non ci si deve meravigliare perchè tale sistema ci restituisce una base costituita da un solo autovettore.
Con $\mu_a(\lambda)$ si indica la molteplicità algebrica (quante volte si ripete la radice).
Con $\mu_(g)(\lambda)$ si indica la molteplicità geometrica (dimensione autospazio associato).
Si dimostra che vale la relazione $1<=\mu_(g)(\lambda)<=\mu_(a)(\lambda)$
Quando accade che $\mu_(g)(\lambda)=\mu_(a)(\lambda)$, allora l'autovalore è regolare. Un endomorfismo per essere diagonalizzabile in $RR$ deve avere tutti gli autovalori reali e regolari.
Nel nostro caso sono reali però l'autovalore $1$ per $h=1$ non è regolare perchè $1=\mu_(g)(1)<\mu_(a)(1)=2$.
Per calcolare la molteplicità geometrica devi risolvere il sistema omogeneo associato alla matrice scritta.
L'autovalore $\lambda_1=\lambda_2=1$ ha molteplicità algebrica $\mu_a(1)=2$, la molteplicità geometrica è la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato alla matrice
$A_(f_1)-I=((1,-1,-1),(0,0,-1),(0,0,0))$, questa matrice ha rango $2$ è lo spazio delle soluzioni ha dimensione $1$. Quest'ultimo fatto è una questione di carattere generale, lo cose stanno così e non ci si deve meravigliare perchè tale sistema ci restituisce una base costituita da un solo autovettore.
Con $\mu_a(\lambda)$ si indica la molteplicità algebrica (quante volte si ripete la radice).
Con $\mu_(g)(\lambda)$ si indica la molteplicità geometrica (dimensione autospazio associato).
Si dimostra che vale la relazione $1<=\mu_(g)(\lambda)<=\mu_(a)(\lambda)$
Quando accade che $\mu_(g)(\lambda)=\mu_(a)(\lambda)$, allora l'autovalore è regolare. Un endomorfismo per essere diagonalizzabile in $RR$ deve avere tutti gli autovalori reali e regolari.
Nel nostro caso sono reali però l'autovalore $1$ per $h=1$ non è regolare perchè $1=\mu_(g)(1)<\mu_(a)(1)=2$.
Per calcolare la molteplicità geometrica devi risolvere il sistema omogeneo associato alla matrice scritta.