Prova scritta 26 Giugno 2012
Re: Prova scritta 26 Giugno 2012
Nella vita di tutti i giorni nessuno si sognerebbe di applicare i metodi studiati (Cramer e Gauss) per risolvere il seguente sistema lineare. Immagino che qualcuno possa pensare che questo è vero!
Se abbiamo il sistema $\{(x=0),(x-y=1):}$, in maniera "brutale" sostituiamo a $x$ il valore $0$ nell'equazione di sotto e troviamo $y=-1$. Diciamo che la soluzione del sistena è: $\{(x=0),(y=-1):}$
Se qualcuno vuole vedere come applichiamo Cramer o Gauss, allora non possiamo tirarci indietro! Esattamente quello che in genere si vuole in una prova di esame.
Cramer
$A=((1,0),(1,-1))$ e $B=((1,0,0),(1,-1,1))$. Entrambe le matrici hanno rango $2$, per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema è compatibile. Troviamo le soluzioni con la regola di Cramer:
$x=|(0,0),(1,-1)|/(|(1,0),(1,-1)|)=0/-1=0$, $y=|(1,0),(1,1)|/(|(1,0),(1,-1)|)=1/-1=-1$
Gauss-Jordan
Scriviamo la matrice completa del sistema e la riduciamo a scala:
$M=((1,0,0),(1,-1,1))~r_1-r_2~((1,0,0),(0,1,-1))$
L'ultima matrice è addirittura una matrice ridotta (i pivot sono tutti uguali a $1$ e al di sopra di ogni pivot gli elementi sono nulli). Con una matrice ridotta riscrivendo il sistema equivalente otteniamo immediatamente le soluzioni, nel nostro caso:
$\{(x=0),(y=-1):}$
L'esempio riportato mostra come si applicano i due metodi ad un sistema semplice e tutti conveniamo che tali metodi non sono efficaci per il caso posto, fanno solo perdere del tempo prezioso.
In relazione al punto (ii) dell'esercizio n.1 vorrei fare alcune considerazioni. Prendiamo il sistema: $\{(x+y+\lambdaz=0),(x+z=0):}$
Anche in questo caso si possono applicare tutti i metodi che vogliamo, però la questione è più delicata perchè non è sempre possibile muoversi con libertà per la presenza del parametro $\lambdainRR$.
Quando risolvo rispetto ad una variabile devo fare attenzione se il suo coefficiente può annullarsi per qualche valore e nel caso decida di esplicitare rispetto a quella stessa variabili, ci si può imbattere in tali casi e non sempre si può evitarli. Questo ci induce a studiare poi i casi particolari. Alla fine fornirò un esercizio da svolgere.
In queste situazioni, per non parlare di casi più spinosi, le conoscenze teoriche ci fanno risolvere la questione agevolmente.
E' un sistema omogeneo la cui matrice dei coefficienti è $((1,1,\lambda),(1,0,1))$.
Tutti riconoscono che tale matrice ha rango $2$, la sottomatrice $M_(1,2)^(1,2)=((1,1),(1,0))$ ha determinante non nullo.
Abbiamo un sistema di $n-1$ equazioni in $n$ variabili con rango della matrice $n-1$ (nel nostro caso $n=3$). Dalla teoria sappiamo che il sistema ammette $oo^(n-(n-1))=oo^1$ soluzioni. Le componenti di un generatore si ottengono facendo il determinante delle sottomatrici ottenute dalla matrice del sistema cancellando la prima, la seconda e la terza colonna.
Nel nostro caso il vettore $w_(\lambda)=(|(1,\lambda),(0,1)|,-|(1,\lambda),(1,1)|,|(1,1),(1,0)|)=(1,\lambda-1,-1)$ è tale che il sistema $S$=[$(1,\lambda-1,-1)$] è una base di $W_(\lambda)$, $AA\lambdainRR$.
$ESERCIZIO$
Risolvere il seguente sistema parametrico: $\{(x+\lambday=1),(x+(\lambda-1)y=2):}$ al variare di $\lambdainRR$.
Se abbiamo il sistema $\{(x=0),(x-y=1):}$, in maniera "brutale" sostituiamo a $x$ il valore $0$ nell'equazione di sotto e troviamo $y=-1$. Diciamo che la soluzione del sistena è: $\{(x=0),(y=-1):}$
Se qualcuno vuole vedere come applichiamo Cramer o Gauss, allora non possiamo tirarci indietro! Esattamente quello che in genere si vuole in una prova di esame.
Cramer
$A=((1,0),(1,-1))$ e $B=((1,0,0),(1,-1,1))$. Entrambe le matrici hanno rango $2$, per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema è compatibile. Troviamo le soluzioni con la regola di Cramer:
$x=|(0,0),(1,-1)|/(|(1,0),(1,-1)|)=0/-1=0$, $y=|(1,0),(1,1)|/(|(1,0),(1,-1)|)=1/-1=-1$
Gauss-Jordan
Scriviamo la matrice completa del sistema e la riduciamo a scala:
$M=((1,0,0),(1,-1,1))~r_1-r_2~((1,0,0),(0,1,-1))$
L'ultima matrice è addirittura una matrice ridotta (i pivot sono tutti uguali a $1$ e al di sopra di ogni pivot gli elementi sono nulli). Con una matrice ridotta riscrivendo il sistema equivalente otteniamo immediatamente le soluzioni, nel nostro caso:
$\{(x=0),(y=-1):}$
L'esempio riportato mostra come si applicano i due metodi ad un sistema semplice e tutti conveniamo che tali metodi non sono efficaci per il caso posto, fanno solo perdere del tempo prezioso.
In relazione al punto (ii) dell'esercizio n.1 vorrei fare alcune considerazioni. Prendiamo il sistema: $\{(x+y+\lambdaz=0),(x+z=0):}$
Anche in questo caso si possono applicare tutti i metodi che vogliamo, però la questione è più delicata perchè non è sempre possibile muoversi con libertà per la presenza del parametro $\lambdainRR$.
Quando risolvo rispetto ad una variabile devo fare attenzione se il suo coefficiente può annullarsi per qualche valore e nel caso decida di esplicitare rispetto a quella stessa variabili, ci si può imbattere in tali casi e non sempre si può evitarli. Questo ci induce a studiare poi i casi particolari. Alla fine fornirò un esercizio da svolgere.
In queste situazioni, per non parlare di casi più spinosi, le conoscenze teoriche ci fanno risolvere la questione agevolmente.
E' un sistema omogeneo la cui matrice dei coefficienti è $((1,1,\lambda),(1,0,1))$.
Tutti riconoscono che tale matrice ha rango $2$, la sottomatrice $M_(1,2)^(1,2)=((1,1),(1,0))$ ha determinante non nullo.
Abbiamo un sistema di $n-1$ equazioni in $n$ variabili con rango della matrice $n-1$ (nel nostro caso $n=3$). Dalla teoria sappiamo che il sistema ammette $oo^(n-(n-1))=oo^1$ soluzioni. Le componenti di un generatore si ottengono facendo il determinante delle sottomatrici ottenute dalla matrice del sistema cancellando la prima, la seconda e la terza colonna.
Nel nostro caso il vettore $w_(\lambda)=(|(1,\lambda),(0,1)|,-|(1,\lambda),(1,1)|,|(1,1),(1,0)|)=(1,\lambda-1,-1)$ è tale che il sistema $S$=[$(1,\lambda-1,-1)$] è una base di $W_(\lambda)$, $AA\lambdainRR$.
$ESERCIZIO$
Risolvere il seguente sistema parametrico: $\{(x+\lambday=1),(x+(\lambda-1)y=2):}$ al variare di $\lambdainRR$.
Re: Prova scritta 26 Giugno 2012
Le colonne della matrice $A_f$ sono le componenti nella base $B'$=($(1,1),(2,-1)$) dei vettori che generano $Imf$.
Per convincersi di questo fatto è sufficiente comprendere come si scrive $A_f$. Vedere il testo di teoria.
Esempio
Supponiamo di avere un'applicazione lineare $f:RR^2toRR^3$ e sia $A_f=((1,0),(2,-1),(1,1))$ la matrice che rappresenta l'applicazione lineare rispetto alle basi $B'$=($(1,0),(1,1)$) di $RR^2$ e $B'$=($(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$) di $RR^3$.
Questo vuol dire che valgono le relazioni:
$f(1,0)=1*(1,0,0)+2*(0,1,0)-1*(0,0,1)=(1,2,-1)$
$f(1,1)=0*(1,0,0)-1*(0,1,0)+1*(0,0,1)=(0,-1,1)$
Come possiamo notare quando la base dello spazio vettoriale codominio è la base canonica, le colonne della matrice $A_f$ si possono identificare con i generatori dell'immagine (sono le componenti dei vettori che generano l'immagine).
Per convincersi di questo fatto è sufficiente comprendere come si scrive $A_f$. Vedere il testo di teoria.
Esempio
Supponiamo di avere un'applicazione lineare $f:RR^2toRR^3$ e sia $A_f=((1,0),(2,-1),(1,1))$ la matrice che rappresenta l'applicazione lineare rispetto alle basi $B'$=($(1,0),(1,1)$) di $RR^2$ e $B'$=($(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$) di $RR^3$.
Questo vuol dire che valgono le relazioni:
$f(1,0)=1*(1,0,0)+2*(0,1,0)-1*(0,0,1)=(1,2,-1)$
$f(1,1)=0*(1,0,0)-1*(0,1,0)+1*(0,0,1)=(0,-1,1)$
Come possiamo notare quando la base dello spazio vettoriale codominio è la base canonica, le colonne della matrice $A_f$ si possono identificare con i generatori dell'immagine (sono le componenti dei vettori che generano l'immagine).
Re: Prova scritta 26 Giugno 2012
Professore ma io ho usato un altro metodo per svolgere l' esercizio della distanza fra le 2 rette della prova n° 4, quello usato anche da voi nell' esercitazione del 30 maggio, trovando il piano passante per una delle due rette e trovare la distanza tra questo piano e un punto dell' altra retta. Non mi trovo con i numeri ma va bene?
Re: Prova scritta 26 Giugno 2012
Salve Professore. Sono un suo alunno che ha superato (con riserva) la prova del 26 giugno. Purtroppo per motivi personali non mi è stato possibile venire al colloquio orale. Mi chiedevo se per superare l'esame devo rifare lo scritto del 12 Luglio, o diversamente. La ringrazio. Saluti.
Re: Prova scritta 26 Giugno 2012
Bisogna ripetere lo scritto.sossio ha scritto:Salve Professore. Sono un suo alunno che ha superato (con riserva) la prova del 26 giugno. Purtroppo per motivi personali non mi è stato possibile venire al colloquio orale. Mi chiedevo se per superare l'esame devo rifare lo scritto del 12 Luglio, o diversamente. La ringrazio. Saluti.
Questo messaggio tra qualche giorno verrà cancellato perchè non attinente alla discussione dei quesiti.
Siete invitati a postare messaggi che vertono solo sulla prova assegnata.
Re: Prova scritta 26 Giugno 2012
salve professore...alla fine sono riuscito a capire l esercizio n3 ma non ho capito il punto che chiede di calcolare f=(1,-1)...come si fa?
vinc
Re: Prova scritta 26 Giugno 2012
Se ci riferiamo alla prova n.1, abbiamo la legge $f(x,y)=(-x+y,2x-2y)$.vinc ha scritto:salve professore...alla fine sono riuscito a capire l esercizio n3 ma non ho capito il punto che chiede di calcolare f=(1,-1)...come si fa?
$f(1,-1)=(-2,4)$.