Prova scritta 12 Luglio 2012

[mateweb]

[Roberta Cimmino]

Buonasera Professore,per esercitarmi in vista della prova d'esame sto svolgendo nuovamente le tracce d'esame proposte.Le prime volte ho seguito le vostre soluzioni ed ora che mi sento un pò più autonoma sto procedendo da sola. Nello svolgere il primo esercizio di questa traccia quando ho dovuto costruire il sottospazio vettoriale generato dal sistema S-1 ,ho considerato T=[(1,2,0),(0,-1,1)] e quindi ho ottenuto una rappresentazione cartesiana diversa da quella proposta dal lei nelle soluzioni. Quando ho dovuto poi svolgere il secondo punto del medesimo esercizio mi sono trovata a risolvere un sistema che anche in questo caso risultava diverso da quello da lei proposto. So benissimo che come da lei ripetuto tantissime volte non dobbiamo vedere le soluzioni come l'unico modo possibile per risolvere un esercizio ma mi lascia sempre una sorta di incertezza e quindi volevo chiederle se i due risultati se pur diversi numericamente siano esatti entrami.
La ringrazio

[mateweb]

In questo caso $L(S_-1)$ essendo un sottospazio vettoriale di dimensione $2$ è rappresentato da un'equazione omogenea in $3$ variabili, ovvero da $2x-y-z=0$ o da un'equazione ad essa proporzionale.

Se hai trovato un'altra equazione distinta dalla precedente c'è un errore. Osserva che tutti i vettori del sistema devono soddisfare l'equazione che rappresenta il sottospazio vettoriale.

[Roberta Cimmino]

Ho trovato il mio errore,avevo omesso un 2.
Ricapitolando:anche prendendo in considerazione vettori diversi ,la rappresentazione cartesiana dovrà essere la medesima e per verificare che sia esatta,i vettori considerati dovranno soddisfare l'equazione trovata.
Inerente a questo volevo porle un'altra domanda riguardante il terzo esercizio.
Dopo aver esteso il sistema S ad una base di R^3 possiamo determinare le immagini sui vettori della base a nostro piacimento? e quindi verranno costruiti endomorfismi tutti diversi?

[mateweb]

Ho trovato il mio errore,avevo omesso un 2.
Ricapitolando:anche prendendo in considerazione vettori diversi ,la rappresentazione cartesiana dovrà essere la medesima e per verificare che sia esatta,i vettori considerati dovranno soddisfare l'equazione trovata.

Si è così, prendendo un altro sistema di vettori di $S_-1$ si trova la medesima rappresentazione cartesiana. Puoi provare per esercizio.

Inerente a questo volevo porle un'altra domanda riguardante il terzo esercizio.
Dopo aver esteso il sistema S ad una base di R^3 possiamo determinare le immagini sui vettori della base a nostro piacimento? e quindi verranno costruiti endomorfismi tutti diversi?

Anche questo è vero, si fissa una base e si costruisce un endomorfismo. In generale questi endomorfismi possono essere distinti e dipendono dalla base scelta e dalle immagini dei vettori della base.

[giuse.cang.]

Primo esercizio, punto (iii) seconda richiesta.
Ho letto le soluzioni del punto in questione: ci sono due procedimenti.
Il secondo dimostra l'uguaglianza mostrando per quali valori di t le due basi sono ortogonali, calcolando il prodotto scalare tra ogni vettore delle due basi e ovviamente ponendolo uguale a 0. Non capisco perché aver determinato tali valori ci ha portato alla soluzione. Che legame c'è? Non riesco a trovarlo!
Grazie in anticipo.

[mateweb]

Cerca di essere più esplicito sulla domanda. Bisogna ricordare la definizione di sottospazio ortogonale quando il prodotto scalare è quelllo canonico.

[giuse.cang.]

Non avevo fatto attenzione: le basi che si pongono ortogonali sono quelle di L(Wt) e K.
Non mi è chiaro solo l'ultimo perché si pone (-1,-1,-1) - (1,1,1) ?

[mateweb]

Non deve risultare così strano, un qualsiasi vettore non nullo proporzionale a $(-1,-1,-1)$ genera sempre il medesimo sottospazio vettoriale.

[giuse.cang.]

Scusi la domanda ma pensavo ci fosse un altro motivo.
Grazie mille per la disponibilità!