Buonasera prof.
Sto provando ad eseguire le prove d'esame e mi sono bloccato al primo esercizio, punto ii) quando devo determinare una base.
Ho consultato la soluzione però mi interessa capire la logica che c'è dietro a tale risoluzione, cioè perchè i minori ci danno le componenti dei vettori della base e come si applica tale metodo al caso generale.
Prova scritta 12 Luglio 2012
Re: Prova scritta 12 Luglio 2012
Risultato di carattere generale.
Un sistema lineare omogeneo di $n$ equazioni in $n+1$ variabili con la matrice di coefficienti di rango$n$ ammette $oo^((n+1)-n)=oo^1$ soluzioni.
La base del sottospazio delle soluzioni (sottospazio di dimensione $1$) ha come componenti gli $n+1$ determinanti che si ottengono cancellando la prima, la seconda,.....,la $n+1$ colonna.
Ricorda che una soluzione è una $n+1-pla$
Un sistema lineare omogeneo di $n$ equazioni in $n+1$ variabili con la matrice di coefficienti di rango$n$ ammette $oo^((n+1)-n)=oo^1$ soluzioni.
La base del sottospazio delle soluzioni (sottospazio di dimensione $1$) ha come componenti gli $n+1$ determinanti che si ottengono cancellando la prima, la seconda,.....,la $n+1$ colonna.
Ricorda che una soluzione è una $n+1-pla$
Re: Prova scritta 12 Luglio 2012
Ma se per esempio il sottospazio delle soluzioni ha dimensione $x>1$ e perciò la base deve avere x vettori, devo prendere x $n+1-pl e$, giusto?
In tal caso mi servirebbero $x*(n+1)$ minori ma come faccio a capire in questo caso quali devo prendere?
In tal caso mi servirebbero $x*(n+1)$ minori ma come faccio a capire in questo caso quali devo prendere?
Re: Prova scritta 12 Luglio 2012
Mi dispiace non riesco a comprendere cosa si sia radicato nei suoi pensieri.
Le cose sono molto più semplici, ripeto:
Sono in presenza di un sistema omogeneo di $n-1$ equazioni in $n$ variabili e il rango della matrice è $n-1$.
Esempio
$3$ equazioni in $4$ variabili con rango $3$
$7$ equazioni in $8$ variabili con rango $7$
$34$ equazioni in $35$ variabili con rango $34$
La teoria dice che le soluzioni sono un sottospazio vettoriale di dimensione $n-p$ dove $p$ è il rango della matrice dei coefficienti.
Nel nostro caso $p=n-1$ e quindi possiamo affermare che in presenza di un sistema omogeneo di $n-1$ equazioni in $n$ variabili con rango della matrice dei coefficienti $n-1$ il sottospazio delle soluzioni ha dimensione $n-(n-1)=1$.
Il sottospazio delle soluzioni ha dimensione $1$, una sua base ha un sol vettore.
Tale vettore ha $n$ componenti e tali componenti si calcolano a partire dalla matrice dei coefficienti.
La matrice dei coefficienti è una matrice $(n-1)xn$
Cancellando la prima colonna ottengo una matrice $(n-1)x(n-1)$, calcolo il determinante e ottengo la prima componente.
Cancellando la seconda colonna ottengo una matrice $(n-1)x(n-1)$, calcolo il determinante e ottengo la seconda componente.
..........................
Cancellando la $n-sima$ colonna ottengo una matrice $(n-1)x(n-1)$, calcolo il determinante e ottengo la $n-sima$ componente.
Questo è tutto!!
Le cose sono molto più semplici, ripeto:
Sono in presenza di un sistema omogeneo di $n-1$ equazioni in $n$ variabili e il rango della matrice è $n-1$.
Esempio
$3$ equazioni in $4$ variabili con rango $3$
$7$ equazioni in $8$ variabili con rango $7$
$34$ equazioni in $35$ variabili con rango $34$
La teoria dice che le soluzioni sono un sottospazio vettoriale di dimensione $n-p$ dove $p$ è il rango della matrice dei coefficienti.
Nel nostro caso $p=n-1$ e quindi possiamo affermare che in presenza di un sistema omogeneo di $n-1$ equazioni in $n$ variabili con rango della matrice dei coefficienti $n-1$ il sottospazio delle soluzioni ha dimensione $n-(n-1)=1$.
Il sottospazio delle soluzioni ha dimensione $1$, una sua base ha un sol vettore.
Tale vettore ha $n$ componenti e tali componenti si calcolano a partire dalla matrice dei coefficienti.
La matrice dei coefficienti è una matrice $(n-1)xn$
Cancellando la prima colonna ottengo una matrice $(n-1)x(n-1)$, calcolo il determinante e ottengo la prima componente.
Cancellando la seconda colonna ottengo una matrice $(n-1)x(n-1)$, calcolo il determinante e ottengo la seconda componente.
..........................
Cancellando la $n-sima$ colonna ottengo una matrice $(n-1)x(n-1)$, calcolo il determinante e ottengo la $n-sima$ componente.
Questo è tutto!!
Re: Prova scritta 12 Luglio 2012
Professore questo ragionamento l'ho capito. Ma distaccandoci da questo esercizio, ciò che non riesco a capire è come bisogna procedere se $rho<n-1$. In tal caso la base non avrebbe solo un vettore bensì $n-rho$ vettori.
Per esempio se ho 2 equazioni in 4 incognite, la base ha due vettori e di conseguenza avrò bisogno di $4*2=8$ minori, che non posso ottenere tramite i determinanti ottenuti cancellando iterativamente le colonne.
Personalmente la base la determinarei risolvendo il sistema omogeneo e trovando così la base per le $oo^2$ soluzioni.
Ma sarei curioso di sapere se anche in questo caso c'è un metodo con i minori.
Per esempio se ho 2 equazioni in 4 incognite, la base ha due vettori e di conseguenza avrò bisogno di $4*2=8$ minori, che non posso ottenere tramite i determinanti ottenuti cancellando iterativamente le colonne.
Personalmente la base la determinarei risolvendo il sistema omogeneo e trovando così la base per le $oo^2$ soluzioni.
Ma sarei curioso di sapere se anche in questo caso c'è un metodo con i minori.
Re: Prova scritta 12 Luglio 2012
Il procedimento descritto vale per sistemi particolari
SISTEMI OMOGENEI di $n-1$ equazioni in $n$ incognite con rango della matrice $n-1$
Non ti ostinare ad immaginare situazioni diverse da quella contemplata e voler applicare tale procedimento
Per altri sistemi applichi i procedimenti che conosci
SISTEMI OMOGENEI di $n-1$ equazioni in $n$ incognite con rango della matrice $n-1$
Non ti ostinare ad immaginare situazioni diverse da quella contemplata e voler applicare tale procedimento
Per altri sistemi applichi i procedimenti che conosci
Re: Prova scritta 12 Luglio 2012
Ho capito, questo volevo sapere. Grazie mille per la disponibilità professore!