Come ho detto più volte, i sistemi lineari si risolvono applicando i metodi studiati:
Il metodo di Cramer oppure il metodo di Gauss
Non voglio per nulla vedere il metodo di sostituzione delle scuole superiori, l'utilizzo della sostituzione è accettabile solo nel caso della risoluzione di sistemi lineari inerenti la diagonalizzazione con equazioni lineari che compongono il sistema di una banalità estrema (tipo $\{(x=0),(y-z=0):}$), in altri casi se evitate la sostituzione sarete apprezzati e ne beneficia il giudizio della prova.
Anche al caso precedente potete applicare quello che sto per descrivere, valutate un pochino voi e ricordate di evitare la sostituzione come la peste.
Esempio
Supponiamo di avere la matrice $A_f-lambdaI=((1-\lambda,0,0),(2,3-\lambda,-2),(1,1,-\lambda))$ e di voler determinare l'autospazio associato all'autovalore $\lambda=2$.
Il sistema associato a $\lambda=2$ è il seguente: $\{(-x=0),(2x+y-2z=0),(x+y-2z=0):}$
questo sistema è quadrato di $3$ equazioni in $3$ variabili e sappiamo che la matrice dei coefficienti ha determinante nullo (è radice del polinomio caratteristico).
Eliminiamo l'equazione più "antipatica" e scriviamo il sistema equivalente: $\{(-x=0),(x+y-2z=0):}$,
a questo punto scriviamo la matrice dei coefficienti $((-1,0,0),(1,1,-2))$.
Ricordiamo anche che tale sistema lineare omogeneo rientra nella classe dei sistemi lineari di $n-1$ equazioni lineari in $n$ variabile e il rango della matrice dei coefficienti è $n-1$.
Per trovare la base dell'autospazio associato all'autovalore $\lambda=2$ è sufficiente svolgere il determinante (segno alterno) delle seguenti sottomatrici di ordine $2$:
$|(0,0),(1,-2)|$, $-|(-1,0),(1,-2)|$, $|(-1,0),(1,1)|$, quindi la base dell'autospazio è l'autovettore $v=(0,-2,-1)$