PREMESSA
In queste prime lezioni l'obiettivo da raggiungere è la definizione di spazio vettoriale su un campo. Quello che ho appena detto non dice assolutamente nulla, fa intendere solo che c'è da tribolare prima di raggiungere la meta prefissata. Partiremo da lontano e faremo alcune premesse per rendere più naturale la definizione che ci siamo posti di enunciare. Qualche accenno alle strutture algebriche è d'obbligo, tali nozioni culmineranno con la definizione di campo.
STRUTTURE ALGEBRICHE
Definizione Supponiamo che $G$ sia un insieme non vuoto. Si dice operazione binaria interna a $G$ una qualsiasi funzione $\bot: G \times G \to G$, con $(a,b)\in G \times G$ e $ \bot (a,b)=a \bot b \in G$. In altre parole una operazione binaria interna a $G$ è una legge che "associa" ad ogni coppia di elementi di $GxG$ uno e un solo elemento di $G$. La coppia $(G,\bot)$ è una struttura algebrica che si chiama GRUPPOIDE. Ricordiamo che per struttura algebrica intendiamo un insieme dotato di almeno una operazione, in tal senso il GRUPPOIDE è la più semplice struttura algebrica. Una delle motivazioni che spinge ad odiare le definizioni è lo scetticismo che si nutre riguardo alla loro difficoltà di vederle applicate a cose concrete. Per sfatare ogni titubanza riportiamo un esempio.
Esempio Solo per citarne alcune, prendiamo in considerazione $(NN,+)$, $(NN,*)$ e $(ZZ,+)$.
$+:NNxNNtoNN$ con $+(a,b)=a+b$.
$*:NNxNNtoNN$ con $*(a,b)=a*b$.
$+:ZZxZZtoZZ$ con $+(a,b)=a+b$.
Conosciamo bene queste strutture, ci hanno insegnato fin da piccoli ad operare con i numeri naturali e i numeri interi.
Quello che possiamo senza dubbio affermare, dopo un'analisi attenta, è che non tutti i gruppoidi meritano riconoscimenti dello stesso grado. A tal riguardo analizziamo più da vicino i gruppoidi $(NN,+)$ e $(NN,*)$. Abbiamo lo stesso insieme dotato di due operazioni distinte.
In $(NN,+)$ l'operazione $+$ risulta essere:
ASSOCIATIVA: $(a+b)+c=a+(b+c)$ $AAa,b,cinNN$
COMMUTATIVA: $a+b=b+a$ $AAa,b,inNN$
In $(NN,*)$ l'operazione $*$ risulta essere:
ASSOCIATIVA: $(a*b)*c=a*(b*c)$ $AAa,b,cinNN$
COMMUTATIVA: $a*b=b*a$ $AAa,binNN$
ELEMENTO NEUTRO: $1*a=a$ $AAainNN$
Da questo esempio non possiamo non dire che in un insieme la differenza, in termini di qualità, è una carta vincente che si trova nelle mani dell'operazione.
La “bontà” di un gruppoide è valutata dalle proprietà di cui può godere l'operazione. Ci accingiamo a fare una classificazione dei gruppoidi mettendo in evidenza le proprietà verificate dall'operazione.
Definizione Supponiamo che la coppia $(G,\bot)$ sia un gruppoide. Se l'operazione è associativa: $(x\boty)\botz=x\bot(y\botz)$ $AAx,y,zinG$, allora esso merita il nome di SEMIGRUPPO.
Esempio I gruppoidi $(NN,+)$ e $(NN,*)$ sono semigruppi.
Definizione Supponiamo che la coppia $(G,\bot)$ sia un semigruppo. Se l'operazione è dotata di elemento neutro $e$: $e\botx=x\bote=x$ $AAx$$inG$, allora esso merita il nome di MONOIDE.
Esempio I gruppoidi $(NN_0,+)$ e $(NN,*)$ e sono monoidi.
Osservazione Supponiamo che la coppia $(G,\bot)$ sia un gruppoide. Se l'operazione è dotata di elemento neutro $e$: $e\botx=x\bote=x$ $AAx$$inG$, in questo caso non esiste un nome per questa struttura algebrica e si dice semplicemente che è un gruppoide dotato di elemento neutro.
Definizione Supponiamo che la coppia $(G,\bot)$ sia un gruppoide dotato di elemento neutro $e$, si dice che $x inG$ è simmetrizzabile se esiste $x' inG$ con $x\botx'=e=x'\botx$.
Poichè le definizioni appena date mettono in evidenza, nell'osservazione un gruppoide che ha di buono solo l'elemento neutro e nell'ultima definizione si parla di elemento simmetrizzabile, sono cose che possono risultare surreali, dunque è opportuno riportare un esempio un po' fuori dal normale.
Esempio Considero l'insieme $G={1,2,3}$ e definisco la seguente operazione $\bot$ in $G$ (ovvio che devo assegnare ad ogni coppia di $GxG$ un elemento di $G$, sappiamo che $GxG={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}$.
$1\bot1=1$, $1\bot2=2$, $1bot3=3$, $2\bot1=2$, $2\bot2=1$, $2\bot3=2$, $3\bot1=3$, $3\bot2=3$, $3\bot3=3$
Abbiamo definito un gruppoide che ha $1$ come elemento neutro, l'operazione non è commutativa in quanto $2\bot3=2$ e $3\bot2=3$.
Non è associativa in quanto $(2\bot3)\bot2=2\bot2=1$, mentre $2\bot(3\bot2)=2\bot3=2$. Questo è un gruppoide che ha solo l'elemento neutro $1$. Gli unici elementi simmetrizzabili sono $1$ e $2$.
Definizione Supponiamo che la coppia $(G,\bot)$ sia un monoide, inoltre ogni $AAx inG$ è simmetrizzabile, allora la struttura $(G,\bot)$ si dice GRUPPO.
Esempio I gruppoidi $(QQ,+)$, $(ZZ,+)$, $(QQ-{0},*)$, $(RR,+)$ sono GRUPPI. In un gruppo non è richiesta la proprietà commutativa all'operazione. Quando anche l'operazione è commutativa, allora si parla di GRUPPO ABELIANO. Gli esempi elencati sono tutti gruppi abeliani, tra poco costruiremo un insieme e in esso introdurremo un'operazione con la struttura di gruppo non abeliano.
Consideriamo l'insieme delle applicazioni biettive $f:X={1,2,3}toX={1,2,3}$, un tale insieme si indica con $S_3$ e una delle $6$ applicazioni biettive è chiamata permutazione di $X$. Se in tale insieme si introduce l'operazione $*$ ponendo $f*g=gcircf$, la struttura $(S_3,*)$ è un gruppo non abeliano (vedere testo di Lomonaco per un ragionamento generale).
Le permutazioni di $S_3$ si potrebbero scrivere in questo modo:
$id_X=((1,2,3),(1,2,3))$, $c_1=((1,2,3),(2,3,1))$, $c_2=((1,2,3),(3,1,2))$
$t_1=((1,2,3),(1,3,2))$, $t_2=((1,2,3),(3,2,1))$, $t_3=((1,2,3),(2,1,3))$
OSSERVAZIONE Queste tabelle sono solo un modo conveniente per rappresentare le funzioni di ${1,2,3}to{1,2,3}$, ad esempio $c_1$ rappresenta la funzione con $f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1$. Successivamente introdurremo le matrici, pur essendo oggetti scritti allo stesso modo si utilizzeranno per altri scopi. In sostanza non vi "sognate" di darle questa interpretazione quando vedrete una matrice. In quel caso una matrice sarà solo una tabella e vi dovete dimenticare dell'interpretazione che abbiamo dato in questa situazione per rappresentare una funzione.
Abbiamo dunque sei applicazioni, questo insieme di applicazioni rispetto alla composizione risulta essere un gruppo. Le sei applicazioni sono tutte definite in $X$ e a valori in $X$, la composizione è sempre possibile (dominio e codominio coincidono). In generale si conosce dalla nozioni sulle applicazioni che la composizione è:
ASSOCIATIVA: $(f*g)*h=hcirc(gcircf)=(hcircg)circf=f*(g*h)$.
ELEMENTO NEUTRO: $id_X$
SIMMETRIZZABILE: Il simmetrico di $id_X$ è $id_X$, il simmetrico di $t_i$ è $t_i$ e il simmetrico di $c_1$ è $c_2$ e il simmetrico di $c_2$ è $c_1$.
La struttura $(S_3,*)$ non è un gruppo abeliano perché se facciamo $t_1circt_2=((1,2,3),(2,3,1))=c_1$, invece componendo $t_2circt_1=((1,2,3),(3,1,2))=c_2$ e quindi $t_1circt_2!=t_2circt_1$.
Giocano un ruolo importante anche le strutture algebriche con due operazioni. Una delle più importanti strutture algebriche con due operazioni è quella di ANELLO.
Definizione La struttura algebrica $(G,+,*)$ si dice ANELLO se:
1) $(G,+)$ è un gruppo abeliano.
2) $(G,*)$ è un semigruppo.
3) vale la proprietà distributiva di $*$ rispetto a $+$:
$a*(b+c)=a*b+a*c$ e $(a+b)*c=a*c+b*c$
Osservazione Nella struttura $(G,+,*)$ abbiamo indicato con $+$ e $*$ le due operazioni, è giusto rimarcare che esse indicano solo due operazioni che soddisfano determinate proprietà e non devono essere confuse con i simboli $+$ e $*$ delle operazioni che ci hanno insegnato alle scuole elementari. In situazioni particolari possiamo dire che i simboli usati coincidono.
Esempio La struttura algebrica $(ZZ,+,*)$ e un ANELLO, in questo caso le operazioni sono quelle canoniche.
La prossima definizione è solo per completezza, ma a noi non interessa.
La struttura algebrica $(G,+,*)$ si dice CORPO se:
1) $(G,+)$ è un gruppo abeliano.
2) $(G-{0},*)$ è un gruppo non commutativo.
3) vale la proprietà distributiva di $*$ rispetto a $+$:
$a*(b+c)=a*b+a*c$ e $(a+b)*c=a*c+b*c$
Invece la prossima definizione è importante perché gioca un ruolo importante nella definizione di spazio vettoriale.
La struttura algebrica $(G,+,*)$ si dice CAMPO se:
1) $(G,+)$ è un gruppo abeliano.
2) $(G-{0},*)$ è un gruppo abeliano.
3) vale la proprietà distributiva di $*$ rispetto a $+$:
$a*(b+c)=a*b+a*c$ ( Ho scritto solo una delle due perché l'operazione di prodotto è commutativa).
Si può anche dire che un CAMPO è un CORPO COMMUTATIVO.
Esempi notevoli di CAMPI sono: $(QQ,+,*)$, $(RR,+,*)$, $(CC,+,*)$, che sono rispettivamente il campo dei numeri razionali, il campo dei numeri reali e il campo dei numeri complessi. Ci sono altri esempi di strutture che risultano essere campi, però considerati i nostri scopi non interessa evidenziarli. Per completezza ne riporto uno semplice.
Esempio Sia $K={0,1}$, in questo insieme definiamo due operazioni $+$ e $*$ nel seguente che segue, sappiamo che $KxK={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}$:
$0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$, $1+1=0$
$0*0=0$, $0*1=0$, $1*0=0$, $1*1=1$
Con una semplice verifica manuale si osserva che valgono tutte le proprietà che caratterizzano la struttura algebrica di campo, siamo in presenza del campo più “piccolo” al mondo.
In queste prime lezioni l'obiettivo da raggiungere è la definizione di spazio vettoriale su un campo. Quello che ho appena detto non dice assolutamente nulla, fa intendere solo che c'è da tribolare prima di raggiungere la meta prefissata. Partiremo da lontano e faremo alcune premesse per rendere più naturale la definizione che ci siamo posti di enunciare. Qualche accenno alle strutture algebriche è d'obbligo, tali nozioni culmineranno con la definizione di campo.
STRUTTURE ALGEBRICHE
Definizione Supponiamo che $G$ sia un insieme non vuoto. Si dice operazione binaria interna a $G$ una qualsiasi funzione $\bot: G \times G \to G$, con $(a,b)\in G \times G$ e $ \bot (a,b)=a \bot b \in G$. In altre parole una operazione binaria interna a $G$ è una legge che "associa" ad ogni coppia di elementi di $GxG$ uno e un solo elemento di $G$. La coppia $(G,\bot)$ è una struttura algebrica che si chiama GRUPPOIDE. Ricordiamo che per struttura algebrica intendiamo un insieme dotato di almeno una operazione, in tal senso il GRUPPOIDE è la più semplice struttura algebrica. Una delle motivazioni che spinge ad odiare le definizioni è lo scetticismo che si nutre riguardo alla loro difficoltà di vederle applicate a cose concrete. Per sfatare ogni titubanza riportiamo un esempio.
Esempio Solo per citarne alcune, prendiamo in considerazione $(NN,+)$, $(NN,*)$ e $(ZZ,+)$.
$+:NNxNNtoNN$ con $+(a,b)=a+b$.
$*:NNxNNtoNN$ con $*(a,b)=a*b$.
$+:ZZxZZtoZZ$ con $+(a,b)=a+b$.
Conosciamo bene queste strutture, ci hanno insegnato fin da piccoli ad operare con i numeri naturali e i numeri interi.
Quello che possiamo senza dubbio affermare, dopo un'analisi attenta, è che non tutti i gruppoidi meritano riconoscimenti dello stesso grado. A tal riguardo analizziamo più da vicino i gruppoidi $(NN,+)$ e $(NN,*)$. Abbiamo lo stesso insieme dotato di due operazioni distinte.
In $(NN,+)$ l'operazione $+$ risulta essere:
ASSOCIATIVA: $(a+b)+c=a+(b+c)$ $AAa,b,cinNN$
COMMUTATIVA: $a+b=b+a$ $AAa,b,inNN$
In $(NN,*)$ l'operazione $*$ risulta essere:
ASSOCIATIVA: $(a*b)*c=a*(b*c)$ $AAa,b,cinNN$
COMMUTATIVA: $a*b=b*a$ $AAa,binNN$
ELEMENTO NEUTRO: $1*a=a$ $AAainNN$
Da questo esempio non possiamo non dire che in un insieme la differenza, in termini di qualità, è una carta vincente che si trova nelle mani dell'operazione.
La “bontà” di un gruppoide è valutata dalle proprietà di cui può godere l'operazione. Ci accingiamo a fare una classificazione dei gruppoidi mettendo in evidenza le proprietà verificate dall'operazione.
Definizione Supponiamo che la coppia $(G,\bot)$ sia un gruppoide. Se l'operazione è associativa: $(x\boty)\botz=x\bot(y\botz)$ $AAx,y,zinG$, allora esso merita il nome di SEMIGRUPPO.
Esempio I gruppoidi $(NN,+)$ e $(NN,*)$ sono semigruppi.
Definizione Supponiamo che la coppia $(G,\bot)$ sia un semigruppo. Se l'operazione è dotata di elemento neutro $e$: $e\botx=x\bote=x$ $AAx$$inG$, allora esso merita il nome di MONOIDE.
Esempio I gruppoidi $(NN_0,+)$ e $(NN,*)$ e sono monoidi.
Osservazione Supponiamo che la coppia $(G,\bot)$ sia un gruppoide. Se l'operazione è dotata di elemento neutro $e$: $e\botx=x\bote=x$ $AAx$$inG$, in questo caso non esiste un nome per questa struttura algebrica e si dice semplicemente che è un gruppoide dotato di elemento neutro.
Definizione Supponiamo che la coppia $(G,\bot)$ sia un gruppoide dotato di elemento neutro $e$, si dice che $x inG$ è simmetrizzabile se esiste $x' inG$ con $x\botx'=e=x'\botx$.
Poichè le definizioni appena date mettono in evidenza, nell'osservazione un gruppoide che ha di buono solo l'elemento neutro e nell'ultima definizione si parla di elemento simmetrizzabile, sono cose che possono risultare surreali, dunque è opportuno riportare un esempio un po' fuori dal normale.
Esempio Considero l'insieme $G={1,2,3}$ e definisco la seguente operazione $\bot$ in $G$ (ovvio che devo assegnare ad ogni coppia di $GxG$ un elemento di $G$, sappiamo che $GxG={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}$.
$1\bot1=1$, $1\bot2=2$, $1bot3=3$, $2\bot1=2$, $2\bot2=1$, $2\bot3=2$, $3\bot1=3$, $3\bot2=3$, $3\bot3=3$
Abbiamo definito un gruppoide che ha $1$ come elemento neutro, l'operazione non è commutativa in quanto $2\bot3=2$ e $3\bot2=3$.
Non è associativa in quanto $(2\bot3)\bot2=2\bot2=1$, mentre $2\bot(3\bot2)=2\bot3=2$. Questo è un gruppoide che ha solo l'elemento neutro $1$. Gli unici elementi simmetrizzabili sono $1$ e $2$.
Definizione Supponiamo che la coppia $(G,\bot)$ sia un monoide, inoltre ogni $AAx inG$ è simmetrizzabile, allora la struttura $(G,\bot)$ si dice GRUPPO.
Esempio I gruppoidi $(QQ,+)$, $(ZZ,+)$, $(QQ-{0},*)$, $(RR,+)$ sono GRUPPI. In un gruppo non è richiesta la proprietà commutativa all'operazione. Quando anche l'operazione è commutativa, allora si parla di GRUPPO ABELIANO. Gli esempi elencati sono tutti gruppi abeliani, tra poco costruiremo un insieme e in esso introdurremo un'operazione con la struttura di gruppo non abeliano.
Consideriamo l'insieme delle applicazioni biettive $f:X={1,2,3}toX={1,2,3}$, un tale insieme si indica con $S_3$ e una delle $6$ applicazioni biettive è chiamata permutazione di $X$. Se in tale insieme si introduce l'operazione $*$ ponendo $f*g=gcircf$, la struttura $(S_3,*)$ è un gruppo non abeliano (vedere testo di Lomonaco per un ragionamento generale).
Le permutazioni di $S_3$ si potrebbero scrivere in questo modo:
$id_X=((1,2,3),(1,2,3))$, $c_1=((1,2,3),(2,3,1))$, $c_2=((1,2,3),(3,1,2))$
$t_1=((1,2,3),(1,3,2))$, $t_2=((1,2,3),(3,2,1))$, $t_3=((1,2,3),(2,1,3))$
OSSERVAZIONE Queste tabelle sono solo un modo conveniente per rappresentare le funzioni di ${1,2,3}to{1,2,3}$, ad esempio $c_1$ rappresenta la funzione con $f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1$. Successivamente introdurremo le matrici, pur essendo oggetti scritti allo stesso modo si utilizzeranno per altri scopi. In sostanza non vi "sognate" di darle questa interpretazione quando vedrete una matrice. In quel caso una matrice sarà solo una tabella e vi dovete dimenticare dell'interpretazione che abbiamo dato in questa situazione per rappresentare una funzione.
Abbiamo dunque sei applicazioni, questo insieme di applicazioni rispetto alla composizione risulta essere un gruppo. Le sei applicazioni sono tutte definite in $X$ e a valori in $X$, la composizione è sempre possibile (dominio e codominio coincidono). In generale si conosce dalla nozioni sulle applicazioni che la composizione è:
ASSOCIATIVA: $(f*g)*h=hcirc(gcircf)=(hcircg)circf=f*(g*h)$.
ELEMENTO NEUTRO: $id_X$
SIMMETRIZZABILE: Il simmetrico di $id_X$ è $id_X$, il simmetrico di $t_i$ è $t_i$ e il simmetrico di $c_1$ è $c_2$ e il simmetrico di $c_2$ è $c_1$.
La struttura $(S_3,*)$ non è un gruppo abeliano perché se facciamo $t_1circt_2=((1,2,3),(2,3,1))=c_1$, invece componendo $t_2circt_1=((1,2,3),(3,1,2))=c_2$ e quindi $t_1circt_2!=t_2circt_1$.
Giocano un ruolo importante anche le strutture algebriche con due operazioni. Una delle più importanti strutture algebriche con due operazioni è quella di ANELLO.
Definizione La struttura algebrica $(G,+,*)$ si dice ANELLO se:
1) $(G,+)$ è un gruppo abeliano.
2) $(G,*)$ è un semigruppo.
3) vale la proprietà distributiva di $*$ rispetto a $+$:
$a*(b+c)=a*b+a*c$ e $(a+b)*c=a*c+b*c$
Osservazione Nella struttura $(G,+,*)$ abbiamo indicato con $+$ e $*$ le due operazioni, è giusto rimarcare che esse indicano solo due operazioni che soddisfano determinate proprietà e non devono essere confuse con i simboli $+$ e $*$ delle operazioni che ci hanno insegnato alle scuole elementari. In situazioni particolari possiamo dire che i simboli usati coincidono.
Esempio La struttura algebrica $(ZZ,+,*)$ e un ANELLO, in questo caso le operazioni sono quelle canoniche.
La prossima definizione è solo per completezza, ma a noi non interessa.
La struttura algebrica $(G,+,*)$ si dice CORPO se:
1) $(G,+)$ è un gruppo abeliano.
2) $(G-{0},*)$ è un gruppo non commutativo.
3) vale la proprietà distributiva di $*$ rispetto a $+$:
$a*(b+c)=a*b+a*c$ e $(a+b)*c=a*c+b*c$
Invece la prossima definizione è importante perché gioca un ruolo importante nella definizione di spazio vettoriale.
La struttura algebrica $(G,+,*)$ si dice CAMPO se:
1) $(G,+)$ è un gruppo abeliano.
2) $(G-{0},*)$ è un gruppo abeliano.
3) vale la proprietà distributiva di $*$ rispetto a $+$:
$a*(b+c)=a*b+a*c$ ( Ho scritto solo una delle due perché l'operazione di prodotto è commutativa).
Si può anche dire che un CAMPO è un CORPO COMMUTATIVO.
Esempi notevoli di CAMPI sono: $(QQ,+,*)$, $(RR,+,*)$, $(CC,+,*)$, che sono rispettivamente il campo dei numeri razionali, il campo dei numeri reali e il campo dei numeri complessi. Ci sono altri esempi di strutture che risultano essere campi, però considerati i nostri scopi non interessa evidenziarli. Per completezza ne riporto uno semplice.
Esempio Sia $K={0,1}$, in questo insieme definiamo due operazioni $+$ e $*$ nel seguente che segue, sappiamo che $KxK={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}$:
$0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$, $1+1=0$
$0*0=0$, $0*1=0$, $1*0=0$, $1*1=1$
Con una semplice verifica manuale si osserva che valgono tutte le proprietà che caratterizzano la struttura algebrica di campo, siamo in presenza del campo più “piccolo” al mondo.
