Abbiamo compreso che per costruire una struttura algebrica di spazio vettoriale è come fare una torta:
INGREDIENTI:
1) Un campo $(K,+,*)$.
2) Un insieme $V$.
PROCEDIMENTO:
3) Definire un'operazione interna $+:VxVtoV$ e un'operazione esterna $*:KxVtoV$.
4) Le operazioni definite devono essere tali da soddisfare le ben note $8$ proprietà.
Se vogliamo risparmiare possiamo costruire uno spazio vettoriale servendoci solo di un campo $(K,+,*)$, facendo in questo modo:
INGREDIENTI:
1) Consideriamo il campo $(K,+,*)$
2) Come insieme $V$ consideriamo $V=K$
PROCEDIMENTO:
3) Definiamo l'operazione interna coincidente con quella di $K$, $+:KxKtoK$ e l'operazione esterna $*:KxKtoK$
4) Le operazioni definite soddisfano sicuramente le $8$ proprietà.
Noi abbiamo costruito lo spazio vettoriale $(K,+,*,K(+,*))$, in parole povere gli elementi di $K$ sono visti sia come vettori che come scalari:
Evidente che $(K,+)$ è un gruppo abeliano, inoltre le altre $4$ proprieta sono verificate:
$b_1)$ $(\alpha+\beta)*\delta=\alpha*\delta+\beta*\delta$ $AA\alpha,\beta,\deltainK$ (questa è proprio la proprietà distributiva sinistra).
$b_2)$ $\alpha*(\beta+\gamma)=\alpha*\beta+\alpha*\gamma$ $AA\alpha,\beta,\gammainK$ (questa è proprio la proprietà distributiva destra).
$b_3)$ $\alpha*(\beta*\gamma)=(\alpha*\beta)*\gamma$ $AA\alpha,\beta,\gammainK$ (questa è proprio la proprietà associativa di $*$).
$b_4)$ $1*\alpha=\alpha$ $AA\alphainK$ (questa è l'esistenza dell'elemento neutro rispetto a $*$).
Da questa osservazione si può concludere che ogni campo si può dotare di una struttura di spazio vettoriale su se stesso.
Esempio Le strutture algebriche $(RR,+,*,RR(+,*))$, $(QQ,+,*,QQ(+,*))$, $(CC,+,*,CC(+,*))$, dove le operazioni sono quelle canoniche, sono tutti esempi di spazi vettoriali su se stessi, mettiamoci anche $(K={0,1},+,*,K(+,*))$ con le operazioni da intendere quelle del sistema binario.
Esibiamo altri esempi di spazi vettoriali su un campo, in questi casi prenderemo il campo dei numeri reali.
Esempio Come campo consideriamo quello dei numeri reali $(RR,+,*)$.
Ora dobbiamo costruire l'insieme $V$. Consideriamo l'insieme $RR^RR$, dove un elemento di $RR^RR$ è una funzione $f:RRtoRR$, poniamo $V=RR^RR$. Come esempi di funzioni di $RR^RR$ possiamo elencare: $f(x)=cosx$, $f(x)=x^2$, $f(x)=arctanx$, $f(x)=e^x$, $f(x)=|x|$, diciamo che potrei elencarne infinite.
Nell'insieme $RR^RR$ definiamo la seguente operazione di addizione interna di funzioni $+$. Siano $f:RRtoRR$ e $g:RRtoRR$, allora $f+g:RRtoRR$ così definita: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. La moltiplicazione esterna $\alpha*f$ è così definita $(\alpha*f)(x)=\alpha*f(x)$
Con un pochino di buona volontà si prova che la struttura $(RR^RR,+,*)$ gode delle $8$ proprietà che caratterizzano uno spazio vettoriale su un campo.
Osservazione Nell'esempio precedente come dominio delle funzioni reali abbiamo considerato $RR$, si poteva benissimo considerare un qualsiasi insieme $X$. In tal caso si costruisce $RR^X$ e un suo elemento è una funzione $f:XtoRR$.
Esempio Consideriamo il piano della geometria euclidea, nel piano fissiamo un punto $O$. Consideriamo come insieme $V$ tutti i vettori geometrici che hanno punto di applicazione in $O$ e come secondo estremo un punto $P$ qualsiasi del piano. Indichiamo tale insieme con $V=V_O^2$.
In questo insieme possiamo definire una operazione di addizione tra vettori, la classica regola del parallelogramma. Si può definire un'operazione esterna tra numero reale e vettore nel modo che abbiamo appreso alle scuole superiore. Queste due operazioni fanno in modo che la struttura $(V_O^2,+,*,RR)$ sia uno spazio vettoriale reale.
INGREDIENTI:
1) Un campo $(K,+,*)$.
2) Un insieme $V$.
PROCEDIMENTO:
3) Definire un'operazione interna $+:VxVtoV$ e un'operazione esterna $*:KxVtoV$.
4) Le operazioni definite devono essere tali da soddisfare le ben note $8$ proprietà.
Se vogliamo risparmiare possiamo costruire uno spazio vettoriale servendoci solo di un campo $(K,+,*)$, facendo in questo modo:
INGREDIENTI:
1) Consideriamo il campo $(K,+,*)$
2) Come insieme $V$ consideriamo $V=K$
PROCEDIMENTO:
3) Definiamo l'operazione interna coincidente con quella di $K$, $+:KxKtoK$ e l'operazione esterna $*:KxKtoK$
4) Le operazioni definite soddisfano sicuramente le $8$ proprietà.
Noi abbiamo costruito lo spazio vettoriale $(K,+,*,K(+,*))$, in parole povere gli elementi di $K$ sono visti sia come vettori che come scalari:
Evidente che $(K,+)$ è un gruppo abeliano, inoltre le altre $4$ proprieta sono verificate:
$b_1)$ $(\alpha+\beta)*\delta=\alpha*\delta+\beta*\delta$ $AA\alpha,\beta,\deltainK$ (questa è proprio la proprietà distributiva sinistra).
$b_2)$ $\alpha*(\beta+\gamma)=\alpha*\beta+\alpha*\gamma$ $AA\alpha,\beta,\gammainK$ (questa è proprio la proprietà distributiva destra).
$b_3)$ $\alpha*(\beta*\gamma)=(\alpha*\beta)*\gamma$ $AA\alpha,\beta,\gammainK$ (questa è proprio la proprietà associativa di $*$).
$b_4)$ $1*\alpha=\alpha$ $AA\alphainK$ (questa è l'esistenza dell'elemento neutro rispetto a $*$).
Da questa osservazione si può concludere che ogni campo si può dotare di una struttura di spazio vettoriale su se stesso.
Esempio Le strutture algebriche $(RR,+,*,RR(+,*))$, $(QQ,+,*,QQ(+,*))$, $(CC,+,*,CC(+,*))$, dove le operazioni sono quelle canoniche, sono tutti esempi di spazi vettoriali su se stessi, mettiamoci anche $(K={0,1},+,*,K(+,*))$ con le operazioni da intendere quelle del sistema binario.
Esibiamo altri esempi di spazi vettoriali su un campo, in questi casi prenderemo il campo dei numeri reali.
Esempio Come campo consideriamo quello dei numeri reali $(RR,+,*)$.
Ora dobbiamo costruire l'insieme $V$. Consideriamo l'insieme $RR^RR$, dove un elemento di $RR^RR$ è una funzione $f:RRtoRR$, poniamo $V=RR^RR$. Come esempi di funzioni di $RR^RR$ possiamo elencare: $f(x)=cosx$, $f(x)=x^2$, $f(x)=arctanx$, $f(x)=e^x$, $f(x)=|x|$, diciamo che potrei elencarne infinite.
Nell'insieme $RR^RR$ definiamo la seguente operazione di addizione interna di funzioni $+$. Siano $f:RRtoRR$ e $g:RRtoRR$, allora $f+g:RRtoRR$ così definita: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. La moltiplicazione esterna $\alpha*f$ è così definita $(\alpha*f)(x)=\alpha*f(x)$
Con un pochino di buona volontà si prova che la struttura $(RR^RR,+,*)$ gode delle $8$ proprietà che caratterizzano uno spazio vettoriale su un campo.
Osservazione Nell'esempio precedente come dominio delle funzioni reali abbiamo considerato $RR$, si poteva benissimo considerare un qualsiasi insieme $X$. In tal caso si costruisce $RR^X$ e un suo elemento è una funzione $f:XtoRR$.
Esempio Consideriamo il piano della geometria euclidea, nel piano fissiamo un punto $O$. Consideriamo come insieme $V$ tutti i vettori geometrici che hanno punto di applicazione in $O$ e come secondo estremo un punto $P$ qualsiasi del piano. Indichiamo tale insieme con $V=V_O^2$.
In questo insieme possiamo definire una operazione di addizione tra vettori, la classica regola del parallelogramma. Si può definire un'operazione esterna tra numero reale e vettore nel modo che abbiamo appreso alle scuole superiore. Queste due operazioni fanno in modo che la struttura $(V_O^2,+,*,RR)$ sia uno spazio vettoriale reale.