Combinazioni lineari, sistemi di generatori e basi

[mateweb]

Esercizio 1 In $\mathbb{R}^3$ dire se il vettore $w=(2,-1,1)$ è combinazione lineare dei vettori del sistema $S=[$$(1,-2,1),(2,1,0)$$]$.

Esercizio 2 In $\mathbb{R}^3$ dire se il sistema $S=[$$(2,3,1),(1,1,0),(0,1,1)$$]$ è un sistema di generatori di $RR^3$.

Esercizio 3 In $\mathbb{R}^3$ dire se il sistema $S=[$$(2,3,1),(1,1,0),(1,1,1)$$]$ è un sistema di generatori di $RR^3$.

Esercizio 4 In $\mathbb{R}^2[x]$ dire se il sistema $S=[$$x,x^2-x,x^2$$]$ è un sistema libero.

Esercizio 5 In $M_2(\mathbb{R})$ dire se il sistema $B=[$$((0,1),(1,0)),((1,-1),(0,1)),((1,0),(1,1)),((0,0),(0,1))$$]$ è un sistema di generatori di $M_2(\mathbb{R})$.

Esercizio 6 In $\mathbb{R}^3$ dire per quali valori $tinRR$ il sistema $S=[$$(-1,t,0),(t,1,0),(1,0,1)$$]$ è linearmente indipendente.

Esercizio 7 In $\mathbb{R}^3$ dire se il generico vettore $(a,b,c)$ è combinazione lineare dei vettori del sistema $S=[$$(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)$$]$. Il sistema $S$ è una base di $\mathbb{R}^3$?

[SdL]

Come posso verificare ad esempio l'esercizio 2?

[mateweb]

Come posso verificare ad esempio l'esercizio 2?

Nell'esercizio $2$ per essere un sistema di generatori deve accadere che un generico vettore di $RR^3$ deve essere combinazione lineare dei vettori del sistema.

$1.$ Considera un generico vettore di $RR^3$, indichiamolo con $(x,y,z)$

$2.$ Vedi se esistono $a,b,cinRR$ con $a*(,,)+b*(,,)+c*(,,)=(x,y,z)$.

$3.$ La condizione precedente ti porta a risolvere un .........

[SdL]

Ma x y e z sono numeri che prendo io o devo utilizzare le variabili?

[mateweb]

Affinchè $S$ sia un sistema di generatori di $RR^3$ bisogna provare che ogni elemento di $RR^3$ si possa scrivere come combinazione lineare dei vettori del sistema (importante ogni elemento di $RR^3$).

Un generico elemento di $RR^3$ lo indichiamo con $(x,y,z)$ o potrei indicarlo con una qualunque terna, ad esempio $(m,n,p)$. Perchè questa arbitrarietà di scelta? Perchè se considerassi $(2,5,5)$ e riesco ad esprimerlo come combinazione lineare dei vettori del sistema $S$, mi si potrebbe obiettare che ciò è valido solo per la terna che ho scelto, non posso provare questo per tutte le terne a componenti numeriche ben specificate, sarebbe umanamente impossibile! Per questo prendo una generica terna $(x,y,z)$ e questa rappresenta tutti gli elementi di $RR^3$ al variare di $x,y,zinRR$.

Se hai dubbi non esitare a chiedere.

[dottor.salvo93]

Salve prof., volevo chiederle... per quanto riguarda il sesto esercizio, mi vengono due valori di t (t=+1 e t=-1)... vanno bene entrambi, no? anche perchè applicando la combinazione lineare e dimostrando che il sistema è lin. indipendente mi esce in entrambi i valori di t il vettore (0,0,0).

[mateweb]

Salve prof., volevo chiederle... per quanto riguarda il sesto esercizio, mi vengono due valori di t (t=+1 e t=-1)... vanno bene entrambi, no? anche perchè applicando la combinazione lineare e dimostrando che il sistema è lin. indipendente mi esce in entrambi i valori di t il vettore (0,0,0).

Controlla bene i calcoli, potresti confonderti sul coefficiente $t^2+1$ che risulta sempre non nullo!

[rossanaboccia]

Come si completa l'esercizio 2? Che risoluzione ha il sistema :

2a+b=x
3a+b+c=y
a+c=z

se non conosco x,y,z?

[mateweb]

Come si completa l'esercizio 2? Che risoluzione ha il sistema :

2a+b=x
3a+b+c=y
a+c=z

se non conosco x,y,z?

Bisogna chiedersi se il sistema $S=[$$(2,3,1),(1,1,0),(0,1,1)$$]$ è un sistema di generatori di $RR^3$.

Prendiamo un generico vettore $(x,y,z)inRR^3$ dobbiamo vedere se esistono $a,b,cinRR$ tali che $a(2,3,1)+b(1,1,0)+c(0,1,1)=(x,y,z)$.

Questo equivale a risolvere il sistema lineare:

$\{(2a +b = x),(3a+b+c=y),(a+c=z):}$

(non abbiamo studiato i sistemi lineari, vi comprendo e vi giustifico. Con qualche piccolo sforzo qualcosa di sensato riuscite a trovare, se non riuscite non vi preoccupate!)

Ricaviamo $a$ dall'ultima relazione e sostituiamo nelle altre equazioni:

$\{(a=z-c),(2z-2c+b=x),(3z-3c+b+c=y):}iff \{(a=z-c),(b-2c=x-2z),(b-2c=y-3z):}$

le ultime due equazioni lineari ci fanno intuire che il sistema ammette soluzioni sono quando $x-2z=y-3z$, in caso contrario il sistema lineare è incompatibile perchè le ultime due equazioni sono in contrasto.

Questo vuol dire che i vettori del sistema $S=[$$(2,3,1),(1,1,0),(0,1,1)$$]$ generano solo i vettori $(x,y,z)$ tale che $x-2z=y-3z$, questo è equivalente a dire $x-y+z=0$.

Concludiamo che $S$ non è un sistema di generatori di $RR^3$.

(Metodo alternativo, ultime cose studiate)

Lo spazio vettoriale $RR^3$ ha dimensione $3$, cosa deve accadere affinchè $S=[$$(2,3,1),(1,1,0),(0,1,1)$$]$ sia un sistema di generatori di $RR^3$?

[rossanaboccia]

S ha cardinalità 3, che coincide con la dimV. In teoria S potrebbe essere una base, e di conseguenza un sistema di generatori. Se è questo il metodo alternativo per risolvere l'esercizio, si dovrebbe verificare a questo punto l'indipendenza del sistema di vettori S?