Combinazioni lineari, sistemi di generatori e basi

[mateweb]

si dovrebbe verificare a questo punto l'indipendenza del sistema di vettori S?

Proprio così!

Se il sistema è linearmente indipendente, allora è un sistema di generatori.

Se il sistema è linearmente dipendente......

[salvard]

prof ho problemi a risolvere il sistema del 3 esercizio

[mateweb]

prof ho problemi a risolvere il sistema del 3 esercizio

In questo momento mi accorgo che l'esercizio n.2 3 n.3 sono gli stessi, ho riportato l'esercizio senza modificarlo. Avevo risposto in un post precedente:

Come si completa l'esercizio 2? Che risoluzione ha il sistema :

2a+b=x
3a+b+c=y
a+c=z

se non conosco x,y,z?

Bisogna chiedersi se il sistema $S=[$$(2,3,1),(1,1,0),(0,1,1)$$]$ è un sistema di generatori di $RR^3$.

Prendiamo un generico vettore $(x,y,z)inRR^3$ dobbiamo vedere se esistono $a,b,cinRR$ tali che $a(2,3,1)+b(1,1,0)+c(0,1,1)=(x,y,z)$.

Questo equivale a risolvere il sistema lineare:

$\{(2a +b = x),(3a+b+c=y),(a+c=z):}$

(non abbiamo studiato i sistemi lineari, vi comprendo e vi giustifico. Con qualche piccolo sforzo qualcosa di sensato riuscite a trovare, se non riuscite non vi preoccupate!)

Ricaviamo $a$ dall'ultima relazione e sostituiamo nelle altre equazioni:

$\{(a=z-c),(2z-2c+b=x),(3z-3c+b+c=y):}iff \{(a=z-c),(b-2c=x-2z),(b-2c=y-3z):}$

le ultime due equazioni lineari ci fanno intuire che il sistema ammette soluzioni sono quando $x-2z=y-3z$, in caso contrario il sistema lineare è incompatibile perchè le ultime due equazioni sono in contrasto.

Questo vuol dire che i vettori del sistema $S=[$$(2,3,1),(1,1,0),(0,1,1)$$]$ generano solo i vettori $(x,y,z)$ tale che $x-2z=y-3z$, questo è equivalente a dire $x-y+z=0$.

Concludiamo che $S$ non è un sistema di generatori di $RR^3$.

(Metodo alternativo, ultime cose studiate)

Lo spazio vettoriale $RR^3$ ha dimensione $3$, cosa deve accadere affinchè $S=[$$(2,3,1),(1,1,0),(0,1,1)$$]$ sia un sistema di generatori di $RR^3$?

[salvard]

Grazie mille prof! Volevo chiederle come faccio a mettere i coefficienti ad ogni singolo vettore...

[salvard]

Salve prof., volevo chiederle... per quanto riguarda il sesto esercizio, mi vengono due valori di t (t=+1 e t=-1)... vanno bene entrambi, no? anche perchè applicando la combinazione lineare e dimostrando che il sistema è lin. indipendente mi esce in entrambi i valori di t il vettore (0,0,0).

come hai risolto il sistema?

[salvard]

Ho problemi con il 5 e 7 esercizio!

[mateweb]

Ho problemi con il 5 e 7 esercizio!

Problema $5$
Lo spazio vettoriale $M_2(RR)$ ha dimensione $4$, controlla se il sistema è linearmente indipendente. Se è linearmente indipendente è anche un sistema di generatori. In caso contrario tale sistema non genera $M_2(RR)$.


Problema $7$

Stesso ragionamento dell'esercizio $5$, tenendo conto che $RR^3$ ha dimensione $3$.

[mateweb]

Volevo chiederle come faccio a mettere i coefficienti ad ogni singolo vettore...

Cosa vuol dire, fammi capire bene.

[salvard]

Mi scusi forse mi sono espresso male! In aula lei ci ha fatto vedere che quando il coefficiente di un vettore è 0 non si può annullare mentre quando è un numero noi x comodità andiamo ad eliminare quello che ci fa più comodo! io non riesco a capire dove vediamo questi coefficienti!

[mateweb]

Mi scusi forse mi sono espresso male! In aula lei ci ha fatto vedere che quando il coefficiente di un vettore è 0 non si può annullare mentre quando è un numero noi x comodità andiamo ad eliminare quello che ci fa più comodo! io non riesco a capire dove vediamo questi coefficienti!

I coefficienti vanno determinati, riporto un esempio.

Controllare se il sistema $S=[$$(1,2,1),(0,0,1),(2,4,-1)$$]$ è linearmente dipendente.

Come al solito $a(1,2,1)+b(0,0,1)+c(2,4,-1)=(0,0,0)$, questo comporta risolvere il sistema:

$\{(a+2c=0),(2a+4c=0),(a+b-c=0):}$, la seconda equazione è proporzionale alla prima, la possiamo eliminare. Scriviamo il sistema:
$\{(a+2c=0),(a+b-c=0):}iff\{(a=-2c),(-2c+b-c=0):}iff\{(a=-2c),(b=3c):}$, $c$ variabile libera.

Ovvio che se $c!=0$ otteniamo una combinazione lineare non banale che "restituisce" il vettore nullo:

$-2c(1,2,1)+3c(0,0,1)+c(2,4,-1)=(0,0,0)$

Con $c!=0$ ogni coefficiente è non nullo, puoi "buttare dalla torre" uno qualsiasi dei tre vettori.

Se non sono stato convinvincente o poco chiaro sei autorizzato a chiedere per avere ulteriori chiarimenti.