Combinazioni lineari, sistemi di generatori e basi

[aleammi]

Salve Prof, avrei bisogno di alcune delucidazioni riguardo gli esercizi:
1- Come si risolve l' esercizio n°4?
2- Come si risolvono i sistemi degli esercizi n°5 e 6?
3- Affinché il vettore (a,b,c) dell'esercizio n°7 sia combinazione lineare, è giusto dire [dopo aver risolto il sistema con alpha, beta e gamma] che deve essere diverso dal vettore (0,0,0)?

[mateweb]

Salve Prof, avrei bisogno di alcune delucidazioni riguardo gli esercizi:
1- Come si risolve l' esercizio n°4?

L'esercizio lo devi risolvere tenendo conto che lo spazio vettoriale $RR_2[x]$ è isomorfo a $RR^3.$

Salve Prof, avrei bisogno di alcune delucidazioni riguardo gli esercizi:
2- Come si risolvono i sistemi degli esercizi n°5 e 6?

Per l'esercizio 5 tieni conto che $M_2[RR]$ è isomorfo a $RR^4.$
Per l'esercizio 6 utilizza le matrici e la nozione di determinante.

Salve Prof, avrei bisogno di alcune delucidazioni riguardo gli esercizi:
3- Affinché il vettore (a,b,c) dell'esercizio n°7 sia combinazione lineare, è giusto dire [dopo aver risolto il sistema con alpha, beta e gamma] che deve essere diverso dal vettore (0,0,0)?

Controlla se il sistema assegnato è linearmente indipendente, se è così la risposta è scontata.
In caso contrario, determina una rappresentazione cartesiana di $L(S)$ e vedi quale condizione deve valere affinchè il vettore $(a,b,c)$ si trovi in $L(S)$

[Gaudia Stella]

Mi scusi prof, al terzo esercizio mi trovo le equazioni[b-c=x-2z;b-2c=y;a=z-c]
ora come devo procedere? S è un sistema di generatori di (x,y,z) tale che b-c=x-2z;b-2c=y;a=z-c ? è sbagliato?

[mateweb]

Mi scusi prof, al terzo esercizio mi trovo le equazioni[b-c=x-2z;b-2c=y;a=z-c]
ora come devo procedere? S è un sistema di generatori di (x,y,z) tale che b-c=x-2z;b-2c=y;a=z-c ? è sbagliato?

Per provare che è un sistema di generatori è sufficiente verificare che il sistema sia linearmente indipendente.

[carmine.ausiello]

Salve professore,
Come si imposta l'esercizio (5)?
Grazie.

[mateweb]

Salve professore,
Come si imposta l'esercizio (5)?
Grazie.

Utilizza la nozione di isomorfismo, ad ogni matrice di $M_2(RR)$ si associa un vettore di $RR^4$. La stessa domanda la poni in $RR^4$ "guardando" le matrici come vettori di $RR^4$.

[giova.col]

professore, per quanto riguarda gli esercizi 2 e 3 (risolti applicando il metodo alternativo di cui lei ha parlato): posso affermare che una base ha sempre cardinalità uguale alla dimensione dello spazio per il fatto che altrimenti sarebbe non più una base, ma un semplice sistema di generatori legato ?
Se ad esempio nell'esercizio 2 verifico che S non è linearmente indipendente, posso già affermare che S non è un sistema di generatori (in base alla considerazione fatta sulla dimensione) senza fare altre verifiche ?
Grazie.

[Giogiò]

Prof, per quanto riguarda l'esercizio numero 1 l'ho impostato in questo modo

$w=α(1,-2,1)+β(2,1,0)$ è giusto?

visto che il vettore w e i vettori di S sono di R³ mi viene un sistema in 3 equazioni e in 2 incognite

$\{(α+2β=2),(-2α+β=-1),(α=1):}$

Ma non ha senso.

[mateweb]

professore, per quanto riguarda gli esercizi 2 e 3 (risolti applicando il metodo alternativo di cui lei ha parlato): posso affermare che una base ha sempre cardinalità uguale alla dimensione dello spazio per il fatto che altrimenti sarebbe non più una base, ma un semplice sistema di generatori legato ?
Se ad esempio nell'esercizio 2 verifico che S non è linearmente indipendente, posso già affermare che S non è un sistema di generatori (in base alla considerazione fatta sulla dimensione) senza fare altre verifiche ?
Grazie.

Certo se dimostri che il sistema è linearmente dipendente, allora esso non può essere un sistema di generatori di $RR^3$.

[mateweb]

Prof, per quanto riguarda l'esercizio numero 1 l'ho impostato in questo modo

$w=α(1,-2,1)+β(2,1,0)$ è giusto?

visto che il vettore w e i vettori di S sono di R³ mi viene un sistema in 3 equazioni e in 2 incognite

$\{(α+2β=2),(-2α+β=-1),(α=1):}$

Ma non ha senso.

Questo sistema lineare, non si dice non ha senso, è incompatibile. Possiamo affemare che $w$ non è combinazione lineare degli altri due vettori.