Combinazioni lineari, sistemi di generatori e basi

[Giogiò]

Problema $5$
Lo spazio vettoriale $M_2(RR)$ ha dimensione $4$, controlla se il sistema è linearmente indipendente. Se è linearmente indipendente è anche un sistema di generatori. In caso contrario tale sistema non genera $M_2(RR)$.

Prof, perchè quest'affermazione? (Quella in rosso)

Non bisogna procedere come per i vettori di R³?


Per quanto riguarda l'esercizio numero 6 invece, una volta impostato il sistema $\{(-a+bt+c=0),(at+b=0),(c=0):}$ con a, b e c scalari, devo solo dire per quali t risulta che a=b=c=0?

[mateweb]

Problema $5$
Lo spazio vettoriale $M_2(RR)$ ha dimensione $4$, controlla se il sistema è linearmente indipendente. Se è linearmente indipendente è anche un sistema di generatori. In caso contrario tale sistema non genera $M_2(RR)$.

Prof, perchè quest'affermazione? (Quella in rosso)

Non bisogna procedere come per i vettori di R³?

$M_2(RR)$ ha dimensione $4$, ora se noi proviamo che tale sistema è linearmente indipendente possiamo concludere che è una base e quindi è un sistema di generatori.

Tale conclusione è possibile in quanto esiste una proposizione, richiamata in aula e presente negli appunti e sul testo, che afferma quanto segue:

Proposizione In uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ un sistema di $n$ vettori linearmente indipendente è anche un sistema di generatori di $V$.

[mateweb]

Per quanto riguarda l'esercizio numero 6 invece, una volta impostato il sistema $\{(-a+bt+c=0),(at+b=0),(c=0):}$ con a, b e c scalari, devo solo dire per quali t risulta che a=b=c=0?

Si

[ca.crisci]

Nell'esercizio 1 come faccio a scrivere che (2,-1,1) non è combinazione lineare dei vettori del sistema S?

[ca.crisci]

Come faccio a scrivere per l'esercizio 1 se il vettore w di R3 è combinazione lineare dei vettori del sistema S?

[mateweb]

Esercizio 1 In $RR^3$ dire se il vettore $w=(2,-1,1)$ è combinazione lineare dei vettori del sistema $S=[$$(1,-2,1),(2,1,0)$$]$.


$(2,-1,1)=\alpha(1,-2,1)+\beta(2,1,0)$, devi risolvere questo sistema lineare. Se il sistema lineare è incompatibile, allora $w$ non è combinazione lineare dei due vettori.

[ca.crisci]

Prof come si imposta un esercizio per dire se un sistema di vettori è libero o legato? Se potrebbe farmi un esempio...

[mateweb]

Prof come si imposta un esercizio per dire se un sistema di vettori è libero o legato? Se potrebbe farmi un esempio...

Consideriamo il sistema di vettori $S=[$$(1,0,1),(1,1,1),(0,-1,0)$$]$, per vedere se è legato o libero devi risolvere il sistema che si ottiene dalla relazione: $a(1,0,1)+b(1,1,1)+c(0,-1,0)=(0,0,0)$ e in questo caso troverai soluzioni non banali, dunque il sistema di vettori è legato.


Consideriamo il sistema di vettori $S=[$$(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)$$]$, per vedere se è legato o libero devi risolvere il sistema che si ottiene dalla relazione: $a(1,1,1)+b(0,1,1)+c(1,0,1)=(0,0,0)$ e in questo caso troverai solo la soluzione banale, dunque il sistema di vettori è libero.

[PeppeCons]

Salve prof, per quanto riguarda l'es.6, dopo aver impostato il sistema -a+bt+c=0, at+b=0,c=0 con la condizione di a=b=c=0, mi ritrovo t=a/b e t=-b/a, quindi t=0? e poi Lei fa distinzione fra R ed R0, quindi con t appartenente ad R, t=0 non sarebbe accettabile giusto?

[ivano]

Prof, nel'esercizio n 2 3 parla di un metodo alternativo, quale sarebbe? Grazie