Esercizio sugli endomorfismi

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Esercizio Siano assegnati i seguenti vettori di $\mathbb{R^4}$:


$v_1=(0,1,0,1), v_2=(1,1,0,0), v_3=(0,1,0,0), v_4=(1,0,1,0)$

$w_1=(-1,-1,-1,0), w_2=(-2,-1,1,-1), w_3=(-3,-2,0,-1)$

$w_4=(4,3,0,2)$

(a) Stabilire che esiste una e una sola funzione lineare $F:\mathbb{R^4} \to \mathbb{R^4}$ con

$f(v_1)=w_1$, $f(v_2)=w_2$, $f(v_3)=w_3$, $f(v_4)=w_4$

(b) Determinare la matrice associata ad $F$ rispetto alla base canonica

(c) Determinare la dimenzione e una base di $N(F)$ e di $Im(F)$

(d) Dire se $ \mathbb{R^4}=N(F) \oplus Im(F)$

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(a) Esiste in quanto i vettori $v_1=(0,1,0,1),v_2=(1,1,0,0),v_3=(0,1,0,0),v_4=(1,0,1,0)$ formano una base di $RR^4$.

La matrice $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$, come è facile controllare, ha determinante non nullo.

Con la regola di Laplace mediante la terza colonna: $M=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix}$

Laplace alla terza colonna,

quindi $|M|=-1$

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(b) Bisogna determinare le coordinate dei vettori della base caninica di $RR^4$ rispetto alla base

$B={(0,1,0,1),(1,1,0,0),(0,1,0,0),(1,0,1,0)}$

(1° passo) Scriviamo la matrice $A=((0,1,0,1),(1,1,1,0),(0,0,0,1),(1,0,0,0))$ che ha per colonne i vettori della base $B$

(2° passo) Determiniamo l'inversa di $A$ e quindi $A^-1=((0,0,0,1),(1,0,-1,0),(-1,1,1,-1),(0,0,1,0))$

Le colonne di $A^-1$ sono le coordinate dei vettori della base canonica rispetto alla base $B$, infatti:

$(1,0,0,0)=0(0,1,0,1)+1(1,1,0,0)-1(0,1,0,0)+0(1,0,1,0)$

$(0,1,0,0)=0(0,1,0,1)+0(1,1,0,0)+1(0,1,0,0)+0(1,0,1,0)$

$(0,0,1,0)=0(0,1,0,1)-1(1,1,0,0)+1(0,1,0,0)+1(1,0,1,0)$

$(0,0,0,1)=1(0,1,0,1)+0(1,1,0,0)-1(0,1,0,0)+0(1,0,1,0)$


(3° passo) Applicando la $F$ ai vettori della base canonica e sfruttando la linearità si trova la matrice che rappresenta $F$ rispetto alla base canonica, essa è la seguente:

$A_F=((1,-3,3,2),(1,-2,2,1),(1,0,-1,-1),(0,-1,2,1))$